位移向量计算器

位移向量计算器 - 计算距离与方向

📐 计算位移向量、大小、方向角与分量。 通过逐步解释，在 2D 与 3D 空间中可视化运动过程。

什么是位移？

位移是表示物体位置变化的矢量量。 它是从初始位置到最终位置的直线距离，不受实际行进路径影响。

位移公式

2D 位移：

Δr = ⟨Δx, Δy⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀⟩

3D 位移：

Δr = ⟨Δx, Δy, Δz⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀⟩

大小（距离）

2D：

|Δr| = √(Δx² + Δy²)

3D：

|Δr| = √(Δx² + Δy² + Δz²)

方向角

2D 相对 X 轴的角度：

θ = arctan(Δy/Δx)

• 从正 X 轴起逆时针测量
• 范围：-180° 到 +180°（或 0° 到 360°）
• 使用 atan2(Δy, Δx) 得到正确象限

单位向量

单位向量长度为 1，方向与位移一致：

û = Δr / |Δr|

计算示例

示例 1：水平运动

• 初始：(0, 0)，终点：(10, 0)
• 位移：⟨10, 0⟩ m
• 大小：10 m
• 方向：0°（东）

示例 2：对角运动

• 初始：(2, 1)，终点：(7, 5)
• 位移：⟨5, 4⟩ m
• 大小：√(5² + 4²) = 6.40 m
• 方向：arctan(4/5) = 38.66°

示例 3：3D 运动

• 初始：(1, 2, 3)，终点：(4, 6, 8)
• 位移：⟨3, 4, 5⟩ m
• 大小：√(3² + 4² + 5²) = 7.07 m

位移与距离

关键区别：

• 位移：矢量（大小 + 方向），直线，可为 0
• 距离：标量（只有大小），总路程，始终为正

示例：向东走 5m，再向西走 5m：

• 路程：10 m
• 位移：0 m（回到起点）

现实应用

• 导航：GPS 计算到目的地的位移
• 物理：速度 = 位移 / 时间
• 工程：结构变形分析
• 机器人：路径规划与位置跟踪
• 体育：分析运动员在场上的移动
• 航空：航线与导航

罗盘方向

• N（北）：90°（正 Y 轴）
• E（东）：0°（正 X 轴）
• S（南）：-90° 或 270°（负 Y 轴）
• W（西）：±180°（负 X 轴）
• NE：45°，SE：-45°，SW：-135°，NW：135°

向量相加

多个位移可以相加：

Δr_total = Δr₁ + Δr₂ + Δr₃ + ...

示例：先向东走 3m，再向北走 4m

• Δr₁ = ⟨3, 0⟩，Δr₂ = ⟨0, 4⟩
• 总计：⟨3, 4⟩，大小：5m，方向：53.13°（NE）

重要性质

• 位移大小 ≤ 路程（只有直线运动时相等）
• 位移可以为负（分量可为负）
• 位移为 0 ≠ 没有运动（可绕一圈回到起点）
• 位移与路径无关（只取决于起点与终点）

常见错误

• 混淆位移与距离——它们不同！
• 角度象限错误——使用 atan2 得到正确角度
• 忽略方向——位移是矢量，必须包含方向
• 把标量加到向量上——不能把路程加到位移上

💡 提示：解物理题时，建议先画出初始与最终位置示意图。 处理 3D 问题可使用右手定则：拇指（X）、食指（Y）、中指（Z）。 记住：位移只取决于起点与终点，而不取决于走过的路径—— 因此即使绕圈走了很远，最终回到起点时位移仍为 0！