阶乘计算器

阶乘计算器 - 带步骤计算 n!

🔢 计算 0 到 170 之间任意数字的阶乘（n!）。查看分步推导、 排列与组合，以及现实应用场景。

什么是阶乘？

非负整数 n 的阶乘记作 n!，等于所有小于或等于 n 的正整数的乘积。 它表示将 n 个不同对象进行排列的方式数量。

阶乘公式

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1（按定义）
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)!（递归定义）

阶乘示例

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800
• 0! = 1（特殊情况）
• 20! = 2,432,902,008,176,640,000

为什么 0! = 1？

排列 0 个对象只有一种方式：空排列。这个定义保证数学公式（尤其是组合数学中的公式）能正确工作。 也与递归公式一致：n! = n × (n-1)!，因此 1! = 1 × 0! 意味着 0! 必须等于 1。

排列

P(n,r) = n!/(n-r)!

从 n 个不同对象中取 r 个并进行排列的方式数，且顺序重要。

• 示例： P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• 用途： 比赛领奖台名次（第 1、第 2、第 3）

组合

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

从 n 个不同对象中选 r 个的方式数，且顺序不重要。

• 示例： C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• 用途： 彩票号码、委员会选择

n! 的末尾零

末尾零由因子 10 = 2 × 5 产生。由于 2 的因子总是比 5 多，我们只需统计 5 的因子数量：

零的个数 = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! 有 2 个末尾零
• 25! 有 6 个末尾零
• 100! 有 24 个末尾零

现实应用

• 密码学：可能的加密密钥数量
• 排程：安排约会、任务与事件的方法数
• 遗传学：可能的 DNA/蛋白质序列
• 概率：游戏、彩票中的概率计算
• 计算机科学：算法复杂度分析
• 制造业：生产线排列方案
• 物流：路线优化问题

著名的阶乘值

• 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷（洗牌组合数）
• 70! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰（超过宇宙原子数 ≈ 10⁸⁰）
• 100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷（158 位！）
• 170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶（JavaScript 最大值）

斯特林近似

当 n 很大时，计算精确阶乘并不现实。斯特林近似为：

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

n 越大，该近似越准确。n = 10 时误差 < 1%。

阶乘的增长速度

阶乘增长速度远快于指数或多项式函数：

• 多项式： n² = 100（n=10）
• 指数： 2ⁿ = 1,024（n=10）
• 阶乘： n! = 3,628,800（n=10）

双阶乘

双阶乘（n!!）是隔一个数相乘：

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 或 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

错位排列数（子阶乘）

子阶乘 !n 统计“没有任何元素在原位置”的排列数：

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

示例： !3 = 2（ABC 的错位排列：BCA、CAB）

编程实现

迭代方式：

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

递归方式：

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 小贴士： 计算排列或组合时，先约分公共因子可以避免溢出。 例如 C(100,2) = 100!/(2!×98!)，可直接计算 (100×99)/2 = 4,950， 而不是分别计算巨大的阶乘！